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与数学思想共舞 与体验学习同行——人教版四年级下册《鸡兔同笼》体验学习教学案例

发表日期:2017-10-26 17:40:14   来源:本站   被阅读[]次



孝感市玉泉小学  陆珍兰


【教学背景】

成功的教学不仅教会学生知识,而且要教会学生学习,即,不仅要学生“学会”,而且要学生会学,要学生会独立、主动地去获取已有知识,会创造性地探索新的知识。要学生“会学”数学,就必须在数学课堂教学中应该渗透数学思想。让学生在解决问题的过程中能从数学的角度主动运用所学知识和方法寻找解决问题的策略,培养学生解决实际问题的经验和能力。人教版教材借助我国民间广为流传的数学趣题“鸡兔同笼”内容就渗透一些重要的数学思想方法,这个问题最早出现在《孙子算经》一书中,对于四年级大多数的学生来说,可能会有一定的难度。不仅需要教师深入思考,怎样能让孩子学得有效,真正发挥数学广角的功效,让学生不但受到数学思维的训练,还能培养学生形成有序、严密地思考问题的意识?;剐枰淌ψ涔勰?,要让学生在体验中学习,并渗透数学思想方法。在运用数学知识和方法解决问题的过程中,了解所学知识之间的联系,获得数学活动经验,认识数学的价值。

【课堂写真】

1、教学片断

(一)数学文化的引入

教师:中国是世界上数学历史最长的国家,我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,为全世界数学的发展做出了巨大的贡献。让我们一起去了解一下吧?。ǘ嗝教宄鍪疽羝到樯芪夜糯艹龅氖幕删停┱故究翁猓骸敖裼兄赏猛?,上有三十五头,下有九十四足,问稚兔各有几何?”

师:同学们,这道题是以文言文的方式表述,哪位同学看懂他的意思了?

学生表述基本正确都要给予肯定,并在此时出示正确意思。(课件展示:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?)

师:现在大家都看懂这道题是什么意思了,这就是著名的“鸡兔同笼”问题——板书:数学广角——鸡兔同笼

(设计意图:从我国古代数学文化到数学趣题直接导入,给数学课堂带来了浓厚的文化气息,让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长,激发了学生的学习热情。)

教师:你们想不想知道有几只鸡?几只兔?(想)能一下子说出答案来吗?为了方便研究我们将数字改小一些,看看能能不从解决这个问题中找到解决古人解决鸡兔同笼问题的方法。(课件出示例1)“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有几只?” 谁来读一读。

教师:从题中你们能获取哪些信息?

学生1:鸡和兔共8只,鸡和兔共有26只脚。

学生2:鸡有2只脚,兔有4只脚。

教师:有了这些信息,大家来思考一分钟,同桌之间可以互相讨论,看看你有什么好的方法来解决。

(教学意图:渗透化繁为简的思想。虽然同样是“鸡兔同笼”的基本题型,但数量从大到小的转化,更有利于学生分析数量变化和掌握解题思路。此环节的转化性设计,正是从学生的角度出发,先由易到难,更快发现数据的变化规律,找到解题方法,并从中巧妙地渗透“转化”的思想。帮助学生探索出解决该类问题的一般方法后,再解决《孙子算经》中数据较大的原题。这样处理,可使学生充分体会到从简单问题入手的必要性,经历先寻找简单问题的求解策略,再将其应用到解决较复杂问题的过程,从而使学生初步感受化繁为简的思想。)

教学片断2

(二)探究新知

A画图法

画图要求:

1.用小圆圈表示一个小动物,用l线表示一个小动物的腿。

2.画的过程中思考:

自己是按什么顺序给小动物画上腿的?怎么画才又快又准确?

生汇报

教师:你们是一次画对的吗?画错了你又是如何调整的呢?

生汇报

教师:看来我们在画图时还要边计算边调整呢,想不想知道电脑老师是怎么画的。

教师:让我们一起去看看电脑老师是如何画一画的吧?。╬pt展示画一画)

方法一:我们先给每只小动物画上两只脚,你们有没有同学是这样画的呢?(有,没有)我们接下来该怎么办呢?2乘8等于16,还需要添上十条竖线,怎么添?

方法二:首先我们先给每只动物画上4只脚,一共画了32只脚,需要调整一下吗?怎么调整?

教师:同学们我们用画一画的方法解决了这个难题,还有其他的方法吗?

B列表法

教师:如果老师去掉有26条腿这个信息,你们猜猜看可能会有几只鸡几只兔?

生汇报

教师:同学们列举了这么多的情况,为了将大家的想法更好地展现出来,老师为大家准备了表格,请看如果有鸡有8只兔就是0只,鸡有7只兔有1只,后面的你们会填吗?(会)填的时候一定要注意计算出每种情况下脚的总只数哦,

开始填一填吧。

学生汇报。

教师:老师刚才发现,很多同学都完成得非???,很了不起!那么,同学们,你们觉得用列表法能算出它们的脚数吗?能找到答案吗?(可以)

教师:我们用列表法将所用的情况一一列举出来,一定可以找到答案,这个方法挺好,我们把这种方法叫做列表法。(板书:列表法)但是如果现在有100只鸡和兔,你觉得你能找到吗?这个方法还好用吗?

生汇报

教师:有没有更好的方法呢?我们就来尝试研究一下更简洁的方法吧。同学们再来观察自己刚才列的表格,看看这些数量之间是否存在着一些数学规律,请将你的想法跟同组的同学相互交流一下。

学生小组交流汇报。

学生:鸡的数量每减少1只,兔的数量就增加1只,脚的数量也跟着增加2只。

学生:兔的数量每减少1只,鸡的数量就增加1只,脚的数量反而减少2只。

教师:对,鸡的只数从左往右看鸡的数量每减少1只,兔的数量就增加1只,脚的数量也跟着增加2只。

教师:还可以怎么观察?

学生:如果我们从右往左看兔的数量每减少1只,鸡的数量就增加1只,脚的数量反而减少2只。

教师:你说的很好,可真会观察??!

教师:我们一起继续来看这张表格,通过分析表格来将同学们的想法表述得更加清晰。

(教学意图:渗透数形结合的思想。让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点,也是教学难点。列表尝试法虽然繁琐,但它是解决问题一种重要的策略和方法。让学生通过列表尝试的方法初步体验在总只数不变的情况下,随着鸡(或兔)只数的调整,脚的总数也发生变化,为下面学习假设法和代数法做好铺垫。本课的重点放在理解假设法的算理上,充分运用直观和其他手段,如借助画图,数形结合,能使学生直观地理解推理、调整的过程,包括假设法算式中每一步的含义。)

教学片断3

C假设法

(1)   假设全是鸡。

教师:我们先看表格中左起的第一列,8和0是什么意思? 学生:就是有8只鸡和0只兔,也就是假设笼子里全是鸡。

教师:你们能列出算式吗?

学生:8×2=16(只)。(如果把兔全当成鸡,一共就有8×2=16只脚。)

教师:与题目中的有26只脚这个信息相符合吗?(不相符合)那笼子里是不是全是鸡呢?这也就是把什么当什么来算了?

学生:26-16=10(只)。

教师:10是什么意思?比原来少了还是多了10只脚?(少了)这少算的是谁的脚呢?(兔子的脚)

学生:(把兔看成鸡来算,4只脚的兔当成2只脚的鸡算,每只兔就少算了2只脚,10只脚是少算的兔的脚数。)

教师:我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。这样算会有什么结果呢?

学生:每少算一只兔就会少算2只脚。

教师:少算2只兔呢?少算3只兔呢?所以10里面有几个2,也就是把几只兔当成了鸡来算,10÷2=5就是兔的只数。

学生:(用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数,8-5=3只鸡。)

教师:你们弄明白了没?同桌之间互相说一说看?(请一生汇报)

(2)假设全是兔。

教师:我们再回到表格中,看看右起第一列中的0和8是什么意思?

学生:就是有0只鸡和8只兔,也就是假设笼子里全是兔。

教师:笼子里是不是全是兔呢?这个时候是把什么当什么算的? 学生:把里面的鸡当成兔来计算的。

教师: 后面的你们会自己列式计算吗?试试吧。

小结:刚才我们通过假设都是鸡或都是兔来解决例1的,所以把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法,也是算术方法中较为普遍的一般方法。 (板书:假设法)

(教学意图:渗透数学模型的思想。假设法是先假设是某一种情况或者结果,然后通过推导、验证来解决问题的方法。在解题活动中,灵活地运用假设法,往往可以使问题化难为易,使解题思路另辟蹊径,

有利于培养灵活的解题技能。教学时,我在学生通过“观察表格第一列和最后一列”求出鸡和兔子的只数后,进一步提问:“你能用算式把刚才观察的思路写出来吗?问题一出,学生立马伏案写起。其实古人的“抬脚法”也是运用了假设法的思想,但是具有局限。理解假设的内涵和问题本身并不矛盾,正确并恰当地运用假设法不仅可以更快地解决问题,还可以为培养学生的创新能力开辟了新途径。在这里老师以列表尝试法为基础,放手让学生在独立尝试的基础上合作探究,学生从自主尝试到讨论汇报、互动,结合课件的动态演示,巧妙地将学生个人或集体的认知经验、思维过程转化为数学语言,从而形成了解决问题的新策略,发展了学生的思维水平,获得了新的数学思想方法。让学生享受快乐的学习氛围。享受成功的喜悦!学会思考,学会自学,通过思维训练,使学生肯学、肯做、敢做、会做。]

教学片段4

(三)知识运用 学生独立完成古代趣题。

1、 同学们今天学习了用画图法、列表法,假设法解决鸡兔同笼问题,相信大家都有所收获,现在我们回过头来看看《孙子算经》中那题,大家有没有信心解决这个问题,请同学们用自己喜欢的方法解决这个问题。

学生解答并集体讲评。

教师评价后:你们你想不想知道古人是怎么解决这个问题的?(想)

2、介绍古人的解法(折半法,结合课件介绍)

古人用吹哨子的方法解决了这个问题,第一次吹哨子,一只鸡抬起一只脚,一只兔抬起两只脚,也就是第一声哨响所有的动物抬起一半的脚,那抬起了多少只脚?地面上立着的脚就剩下(94除以2等于47只)第二声哨响改变了规则大家要认真听哦,第二声哨响每只动物抬起一只脚,也就是35只动物都抬起一只脚,地面上还剩多少只脚呢?(47减35等于12)大家再仔细想想两声哨响鸡就飞走了,地面上就剩下每一兔子一只脚立在地面上了,所以地面上有几只脚就有几只兔。

3、课件出示“做一做1”

师:鸡兔同笼问题传到日本时就变成了“龟鹤问题”,你认为“龟鹤问题”与“鸡兔同笼”有什么相似之处?课件出示(龟相当于兔,鹤相当于鸡)展示学生作业,并抽生说说思路。

4、师:看来鸡兔问题这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上,只要能用“鸡兔同笼”问题来解答的问题都可以统一叫做“鸡兔同笼”问题。

(教学意图:从“鸡兔”“龟鹤”问题的过程,作出初步的事物对象的提炼,然后通过其它情境突出数量差异的变化,从而提炼简单的问题模型。最后,将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化,完成模型的建构与应用。)

【分析研究】

在解决“鸡兔同笼”问题的方法中,猜测是探究解决此类问题的基础,列表法则有助于通过有序思考找到问题的答案,假设法则有利于培养学生的逻辑推理能力,切实解决此类问题的一般方法。当然,学生选用哪种方法解决这类问题均可,不强求用某一种方法。

1.让学生体验学习问题解决的过程。

鸡兔同笼问题,让学生体验解决问题的过程,可以采用数形结合,这一方法比较直观,易学好教,也可采用逐一列表、跳跃列表和折中列表三个层次的列表方法,这种在算的基础上逐步尝试、调整的方法,更符合学生的认知规律和解决问题的习惯,这种回归思维原点、不教也能试的方法,本质就是“逼近”的思想,而“穷举、列表”又体现了分类的思想。在解题教学中渗透数学思想方法,提高学生的数学素养和能力。解题过程实质上是在化归思想的指导下,合理联想。调用一定数学思想方法加工处理题设条件,运用数学思想方法分析解决问题,开拓学生的思维空间,优化解题策略。人教版呈现的三种不同思维层次的方法,蕴藏着不同的数学思想:列表法体现了“分类”的思想,假设法蕴涵着“逼近”思想。在教学中,可从基本的假设法入手,通过例题教学,让学生掌握用假设法解题的技巧,感悟思想方法,并在解决一些实际问题的练习中进行巩固。

2.丰富学生解题策略。

通过例题教学展示多种解题策略,并把每种解决方法及时收归到假设法,从假设的角度去融会贯通。这种处理方法中,如何将其他策略引至假设法是课堂的关键。对于画图法,可作为理解假设法计算过程的直观辅助手段,起到数形结合加深理解的作用;对于枚举列表法,可作为理解假设法的铺垫材料,因为对列表中鸡(或兔)脚数变化规律的掌握,能促进学生对假设法中难点的突破——即对推理和调整过程的理解;对于方程法,本单元还没有学到,在今后的学习中可作为假设法的另一种形式去理解。

3.有效沟通生活实际问题与“鸡兔同笼”问题的联系。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确了问题解决能力的培养是数学课程教学的重要目标。问题解决能力的培养体现在几个领域中的不同数学知识与方法的学习过裎中,贯穿于数学学习的全过程。很多实际问题虽然形式上与“鸡兔同笼”问题不同,但在数量关系上却与“鸡兔同笼”问题一致。教学时依据学生的认知能力和思维水平,帮助学生将各种生活中的实际问题与“鸡兔同笼”问题沟通起来,有效解决问题。

【资料链接】

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出:要使学生“学会与人合作”“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考,体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性”“经历与他人合作交流解决问题的过程,尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中,认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“课程内容”的“第二学段”中提出:“结合实际情境,体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思,进一步理解所用的知识和方法,了解所学知识之间的联系,获得数学活动经验”。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》将数学基本思想作为“四基”之一提出,模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”之称的概念,实际明示它是数学基本思想之一。教学过程中,要帮助学生积累思维的经验,逐渐形成自己的合理思维方法。

(责任编辑   管菊蕾)


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